Question

2．请大家阅读下面两段材料，并解答问题：

材料1：我们知道在数轴上表示3和1的两点之间的距离为2（如图1），而|3-1|=2，所以在数轴上表示3和1的两点之间的距离为|3-1|．
再如在数轴上表示4和-2的两点之间的距离为6（如图2）而|4-（-2）|=6，所以数轴上表示数4和-2的两点之间的距离为|4-（-2）|．
根据上述规律，我们可以得出结论：在数轴上表示数a和数b两点之间的距离等于|a-b|（如图3）
试一试，求在数轴上表示的数5$\frac{2}{3}$与-4$\frac{1}{4}$的两点之间的距离为9$\frac{11}{12}$．
材料2：如图4所示大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积可表示为：a²-b²．

将图4中的图形重新拼接成图5，则阴影部分的面积可表示为（a+b）（a-b），并且可以得到等式：
a²-b²=（a+b）（a-b），请用此公式计算：${（999\frac{8}{9}）}^{2}$-${（999\frac{1}{9}）}^{2}$=1554$\frac{7}{9}$．
阅读后思考：
上述两段材料中，主要体现了数学中数与形相结合的数学思想．请运用此数学思想，求1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{128}$的值．

Answer 1

分析 材料1：根据数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，算出即可；
材料2：利用平方差公式把题目展开成平方差公式的形式，然后根据有理数的加法法则计算，并且这样计算比较简便；
阅读后思考：利用图形分别表示出$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{16}$，…，结合阴影部分表示出结果即可．

解答 解：材料1：在数轴上表示的数5$\frac{2}{3}$与-4$\frac{1}{4}$的两点之间的距离为：|5$\frac{2}{3}$-（-4$\frac{1}{4}$）|=9$\frac{11}{12}$；
材料2：${（999\frac{8}{9}）}^{2}$-${（999\frac{1}{9}）}^{2}$=（999$\frac{8}{9}$+999$\frac{1}{9}$）（999$\frac{8}{9}$-999$\frac{1}{9}$）=1554$\frac{7}{9}$；
阅读后思考：如图，

由图形可知：
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{7}{8}$，
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$，
所以1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{128}$=1+$\frac{127}{128}$=1$\frac{127}{128}$．
故答案为9$\frac{11}{12}$；1554$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了平方差公式的几何表示，关键是理解题意，才能根据题目的公式进行计算，此题还考查了数形结合的思想．