Question

2．如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）当AD=2$\sqrt{10}$，$\frac{DE}{EC}$=$\frac{1}{2}$时，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）首先求出DE、AE，由△ABF∽△EAD，得$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠D=90°，
∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=2$\sqrt{10}$
∵$\frac{DE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}+（\frac{2}{3}\sqrt{10}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{AF}{\frac{2}{3}\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{\frac{20}{3}}$，
∴AF=2．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．