Question

13．如图，在?ABCD中，E为AD的中点，CE交BA的延长线于F．
（1）试证明：点A为FB的中点；
（2）若AD=2AB，∠BCD=110°，求∠ABE的度数．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，由AAS证明△DEC≌△AEF，得出CD=AF即可；
（2）由（1）可知FB=2AB，由BC=2AB，得出△FBC为等腰三角形，求出∠FBC的度数，由EF=EC，根据等腰三角形“三线合一”得出BE平分∠CBF，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠F，∠FBC+∠BCD=180°，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE．
在△DEC和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠F}\\{∠DEC=∠AEF}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC=AF．
∴AB=AF，
即点A为FB的中点；
（2）解：由（1）可知BF=2AB，EF=EC，
∵∠BCD=110°，
∴∠FBC=180°-110°=70°，
∵BC=2AB，
∴BF=BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$×70°=35°．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．