Question

10．已知：y=$\sqrt{8-x}$+$\sqrt{x-8}$+$\frac{1}{2}$，求$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2}$-$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$的值．

Answer 1

分析 首先根据二次根式中的被开方数必须是非负数，求出x的值是多少，进而求出y的值是多少；然后把求出的x、y的值代入化简后的算式即可．

解答 解：∵$\sqrt{8-x}$+$\sqrt{x-8}$有意义，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8-x≥0}\\{x-8≥0}\end{array}\right.$，
解得x=8，
∴y=$\sqrt{8-x}$+$\sqrt{x-8}$+$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{8-8}$+$\sqrt{8-8}$+$\frac{1}{2}$
=0+0+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$
∴$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2}$-$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$
=$\sqrt{\frac{{（x+y）}^{2}}{xy}}$-$\sqrt{\frac{{（x-y）}^{2}}{xy}}$
=$\sqrt{\frac{{（8+\frac{1}{2}）}^{2}}{8×\frac{1}{2}}}$-$\sqrt{\frac{{（8-\frac{1}{2}）}^{2}}{8×\frac{1}{2}}}$
=$\sqrt{\frac{{（\frac{17}{2}）}^{2}}{4}}$-$\sqrt{\frac{{（\frac{15}{2}）}^{2}}{4}}$
=$\frac{17}{4}$-$\frac{15}{4}$
=$\frac{1}{2}$

点评 此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．