题目内容

4．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2$\sqrt{2}$EF，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．12SB．10SC．9SD．8S

分析 设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题．

解答 解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，
∵AM=2$\sqrt{2}$EF，
∴2a=2$\sqrt{2}$b，
∴a=$\sqrt{2}$b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，
故选C．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

练习册系列答案
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19．如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为$\sqrt{2}$的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1B．$\frac{1}{2}$C．$\sqrt{2}$D．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
15．计算：0.5a×（-2a3b）2=2a7b2．
12．已知关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-a}\\{x-y=3a+5}\end{array}$，给出下列说法：
①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的一个解；
②当x-2y＞8时，a＞$\frac{1}{5}$；
③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；
④若y=x2+5，则a=-4． 以上说法正确的是（　　）
A．②③④B．①②④C．③④D．②③
19．甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为y=4.5x-90（20≤x≤36）．（并写出自变量取值范围）
9．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
16．若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两个不相等的根，则α2-2β的值是（　　）
A．10B．16C．-2D．-10
13．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3=a6B．（ab）2=a2b2C．（a3）2=a5D．a8÷a2=a4
14．“半角型”问题探究：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：EF=BE+DF
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
归纳应用
（3）正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°，已知BE=3，DF=2，求正方形ABCD的边长．
拓展提高
（4）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF=1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与0、F不重合），且∠GPE=45°，设AG=m，求m的取值范围．

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