Question

19．如图，一个半径为1的⊙O₁经过一个半径为$\sqrt{2}$的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 连接OA，OB，OO₁，求出∠AOB=90°，进而利用S_阴影部分=S_半圆AB-S_弓形AB=S_半圆AB-（S_扇形OAB-S_△OAB）=S_半圆AB-S_扇形OAB+S_△OAB求出答案即可．

解答 解：如图，⊙O的半径为$\sqrt{2}$，⊙O₁的半径为1，点O在⊙O₁上，连接OA，OB，OO₁，
∵OA=$\sqrt{2}$，O₁A=O₁O=1，则有（$\sqrt{2}$）²=1²+1²，
∴OA²=O₁A²+O₁O²，
∴△OO₁A为直角三角形，
∴∠AOO₁=45°，同理可得∠BOO₁=45°，
∴∠AOB=90°，
∴AB为⊙O₁的直径．
∴S_阴影部分=S_半圆AB-S_弓形AB=S_半圆AB-（S_扇形OAB-S_△OAB）=S_半圆AB-S_扇形OAB+S_△OAB=$\frac{1}{2}$π×1²-$\frac{90π×2}{360}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．
故选A．

点评 本题主要考查了相交两圆的性质以及扇形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，此题有一定的难度．