Question

9．如图，两同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，点O到AB的距离等于CD的一半，且AC=CD．则大小圆的半径之比为（　　）

• A． $\sqrt{5}$：1
• B． 2：$\sqrt{10}$
• C． 10：$\sqrt{2}$
• D． 3：1

Answer 1

分析 过O作OE⊥AB，交AB于点E，连接OA，OC，如图所示，由垂径定理得到E为AB的中点，E为CD的中点，又AB的弦心距等于CD的一半，即OE=CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，可得出三角形COE为等腰直角三角形，设CE=OE=x，利用勾股定理表示出OC，再由AC=CD，表示出AC，由AC+CE表示出AE，在直角三角形AOE中，利用勾股定理表示出OA，即可求出两半径之比．

解答 】解：过O作OE⊥AB，交AB于点E，连接OA，OC，如图所示，
由垂径定理得到E为AB的中点，E为CD的中点，
∵AB的弦心距等于CD的一半，即OE=CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，
∴△OCE为等腰直角三角形，
设CE=OE=x，由勾股定理得到OC=$\sqrt{2}$x，
∵AC=CD=2CE，得到AC=2x，
∴AE=AC+CE=2x+x=3x，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：OA=$\sqrt{{AE}^{2}+{OE}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
则这两个同心圆的大小圆的半径之比OA：OC=$\sqrt{10}$x：$\sqrt{2}$x=$\sqrt{5}$：1．
故选A．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解本题的关键．