Question

15．已知正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（　　）

• A． 6$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$；
故选：C．

点评 本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握圆内接正三角形的性质，由勾股定理求出AB是解决问题的关键．