Question

1．如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD向点D运动；点Q从点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，BE于CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为t（s），△BPE的面积记为S，
（1）求∠PBE的度数，求S（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，△PQF是以PF为腰的等腰三角形？
（3）试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明△ABP≌△QPE，推出PB=PE即可证明．
（2）如图2中，分两种情形讨论①当AP=PD时，可以推出△PFQ是等腰三角形，此时t=2．
②当点P与点D重合时，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此时t=4．
（3）如图3中，△PDF的周长是定值．将△BCF绕点B顺时针旋转90°得到△BAG，只要证明△PBG≌△PBF，推出PF=PG，推出PF=PA+AG=PA+CF，由此即可证明．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=90°，
∵AP=DQ，
∴AD=PQ=AB，
∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠EPQ=90°，
∴∠ABP=∠EPQ，
在△ABP和△QPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠EPQ}\\{∠A=∠EQP}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QPE，
∴PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB=45°．

（2）如图2中，

①当AP=PD时，
∵AP=DQ，
∴DP=DQ，
∵FD⊥PQ，
∴PF=FQ，
∴△PFQ是等腰三角形，此时t=2．
②当点P与点D重合时，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此时t=4．
综上所述，t=2s或4s时，△PFQ是以PF为腰的等腰三角形．

（3）如图3中，△PDF的周长是定值．

将△BCF绕点B顺时针旋转90°得到△BAG．
∵∠PBE=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBF=∠ABP+∠ABG=45°，
∴∠PBG=∠PBF，
在△PBG和△PBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{∠PBG=∠PBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBG≌△PBF，
∴PF=PG，
∴PF=PA+AG=PA+CF，
∴△PDF的周长=PF+DP+DF=（PA+DP）+（DF+CF）=AD+CD=8．
∴△PDF的周长为定值．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．