Question

6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，∠ACD=120°．
（1）求证：AC=CD；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质可求得∠A=∠D，可证得结论；
（2）在Rt△OCD中可求得OD，CD，可求得△OCD的面积和扇形BOC的面积，再利用面积差可求得阴影部分面积．

解答 （1）证明：
如图，连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA=∠OAC=30°，∠ADC=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：
由（1）知∠OCD=90°，∠ADC=30°，∠COD=60°，
∴OD=2OC=4，CD=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，S_扇形BOC=$\frac{60πO{C}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_阴影=S_△OCD-S_扇形BOC=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径垂直切线是解题的关键．