Question

17．已知抛物线的表达式为y=-x²+6x+c．
（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，若x₁²+x₂²=26，求c的值；
（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于x轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等，求证：c＞-5.25．

Answer 1

分析 （1）由题意△≥0，列出不等式即可解决问题．
（2）利用根与系数关系，列出方程即可解决问题．
（3）设P（m，n），则Q（n，m），列出方程组，求出m与n的关系，得到关于n的方程，根据判别式大于0，即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴有交点，
∴b²-4ac≥0，
∴36+4c≥0，
∴x≥-9；

（2）∵x₁+x₂=6，x₁x₂=-c，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=36+2c=26
∴c=-5；

（3）∵△OPA≌△QOB，
∴OA=BQ，AP=OB，
∴可以设P（m，n），则Q（n，m）
将P（m，n），Q（n，m）代入原解析式中得：$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+6m+c=0①}\\{-{n}^{2}+6n+c=0②}\end{array}\right.$
①-②得：n²-m²+6m-6n=n-m
∴n²-m²+7m-7n=0，
∴（n-m）（n+m-7）=0，
∴m=n或m=7-n，
∵m，n不相等，
∴m=7-n，
将m=7-n代入①得：n²-7n+7-c=0，
∵b²-4ac＞0，
∴49-4（7-c）＞0，
∴c＞-$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、根与系数的关系、方程组等知识，解题的关键是灵活应用所学知识，学会利用参数，构建一元二次方程解决问题，属于中考压轴题．