Question

如图，⊙O的半径为4

5

，⊙O的两条弦AB⊥CD于点P，BC中点为F，连接FP并延长交AD于E．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若AB=16，OP=2

13

，求弦CD的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）由AB⊥CD得∠BPC=∠APD=90°，根据斜边上中线性质得PF=FB，则∠B=∠FPB，根据对顶角相等得∠FPB=∠APE，根据圆周角定理得∠B=∠D，所以∠APE=∠D，而∠APE+∠DPE=90°，所以∠D+∠DPE=90°，于是得到EF⊥AD；
（2）过O点作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连结OB、OD，根据垂径定理得BM=

1

2

AB=8，DN=

1

2

CD，在Rt△BOM中，根据勾股定理计算出OM=4，在Rt△OPM中，计算出PM=6，则ON=PM=6，在Rt△OND中，根据勾股定理计算出DN=2

11

，所以CD=2DN=4

11

．

解答：（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠BPC=∠APD=90°，
∵F点为BC的中点，
∴PF=FB，
∴∠B=∠FPB，
而∠FPB=∠APE，∠B=∠D，
∴∠APE=∠D，
而∠APE+∠DPE=90°，
∴∠D+∠DPE=90°，
∴∠PED=90°，
∴EF⊥AD；
（2）解：过O点作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连结OB、OD，如图，
∴BM=

1

2

AB=

1

2

×16=8，DN=

1

2

CD，
在Rt△BOM中，OB=4

5

，
∴OM=

OB2-BM2

=4，
在Rt△OPM中，OP=2

13

，
∴PM=

OP2-OM2

=6，
∴ON=PM=6，
在Rt△OND中，OD=4

5

，
∴DN=

OD2-ON2

=2

11

，
∴CD=2DN=4

11

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．