Question

如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若连接AO，且满足AO=BC，AO⊥BC．问此时四边形DGFE又是什么形状？并请说明理由．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,平行四边形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据是三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=

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BC，GF∥BC且GF=

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BC，从而得到DE∥GF且DE=GF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，DG∥AO，DG=

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AO，然后求出DG⊥GF，DG=GF，再根据邻边垂直且相等的平行四边形是正方形解答．

解答：（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且DE=

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BC，
∵G、F是OB、OC的中点，
∴GF∥BC且GF=

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BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DGFE是平行四边形；

（2）解：∵D、G分别是AB、OB的中点，
∴DG∥AO，DG=

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AO，
又∵AO=BC，AO⊥BC，
∴DG⊥GF，DG=GF，
∴四边形DGFE正方形．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，正方形的判定，熟记定理与判定方法是解题的关键．