Question

7．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，求：
（1）△ABC的面积S_△ABC及AC边上的高BE；
（2）△ABC的内切圆的半径r；
（3）△ABC的外接圆的半径R．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知△ABC为等腰三角形，根据三角形面积计算公式S=底×高÷2计算三角形面积公式；
（2）利用等面积，求△ABC的△内切圆的半径r；
（3）利用勾股定理，求△ABCr外接圆的半径R．

解答 解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，则AD为BC边上的高，
∵AB=AC=3，
∴点D为BC的中点，DB=$\frac{1}{2}BC$=1，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC×AD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BE•AC=2\sqrt{2}$，可得BE=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（2）由等面积可得，
${S}_{△ABC}=2\sqrt{2}=\frac{1}{2}（3+3+2）r$，
∴r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（3）由勾股定理可得，
${R}^{2}=（2\sqrt{2}-R）^{2}+{1}^{2}$，
∴$R=\frac{9\sqrt{2}}{8}$

点评 本试题考查三角形的面积公式和转化的思想，正确理解三角形的内切圆和外接圆，正确应用勾股定理是求解的关键．