Question

13．已知函数y=-x²的图象向右平移2个单位，再向上平移n（n＞0）个单位后得到的抛物线C恰好与直线y=-2x+8相切与点A．
（1）求抛物线C得解析式；
（2）若抛物线C的顶点为B，交y轴与点D，△ABD的外接圆交x轴与M、N两点，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）设抛物线C的解析式为y=-（x-2）²+n（n＞0）．把y=-x+8代入y=-（x-2）²+n得到的关于x的二元一次方程（含n），接下来，依据方程有两个相等的实数根可求得n的值，从而得到抛物线的解析式
（2）圆E为△ABD的外接圆，连接ME、NE，过点E作EF⊥MN，垂足为F．先求得点A、B、D的坐标，然后依据由两点间的距离公式可知AD、BD、AB的长，然后依据勾股定理的逆定理可知△ABD为直角三角形，从而可得到点E的坐标和圆E的半径，接下来，依据勾股定理可求得MF的长，最后依据垂径定理可求得MN的长．

解答 解：（1）设抛物线C：y=-（x-2）²+n（n＞0）．
将y=-x+8代入y=-（x-2）²+n得：-（x-2）²+n=-x+8，整理得：x²-6x+12-n=0，
∵直线与抛物线相切，
∴△=36-4（12-n）=0，解得：n=3．
∴抛物线C的解析式为y=-（x-2）²+3，即y=-x²+4x-1．
（2）如图所示：圆E为△ABD的外接圆，连接ME、NE，过点E作EF⊥MN，垂足为F．

∵令x=0得y=-1，
∴D（0，-1）．
由抛物线的解析式可知：B（2，3）．
∵由（1）可知：当n=3时，直线与抛物线相切，
∴x²-6x+9=0，解得：x=3．
∵将x=3代入y=-2x+8得：y=2，
∴A（3，2）．
∵由两点间的距离公式可知AD²=（3-0）²+（-1-2）²=18，BD²=（2-0）²+（-1-3）²=20，AB²=（3-2）²+（2-3）²=2，
∴BD²=BA²+AD²．
∴三角形ABD为直角三角形．
∵圆E是△ABD的外接圆，
∴E是BD的中点．
∴E（1，1）．
∴ME=DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，EF=1．
∵EF⊥MN，
∴MF=FN，∠EFM=90°．
在Rt△MEF中，MF=$\sqrt{M{E}^{2}-E{F}^{2}}$=2．
∴MN=2MF=4．
∴MN的长度为4．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平移与坐标变换的关系、一元二次方程根据判别式、勾股定理的逆定理、勾股定理、垂径定理等知识，求得点E的坐标可圆E的半径的长度是解题的关键．