Question

9．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD长线交于点F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3．求：
（1）AB的长度；
（2）tan∠ECB的值．

Answer 1

分析 （1）设CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，过点O作OH⊥CD垂足为H，则CH=HD，由△OHE∽△FAE，得$\frac{HE}{OE}$=$\frac{AE}{EF}$求出EF=$\frac{2{a}^{2}}{k}$，由CE•ED=BE•AE求出k、a关系，得EF=10k，得到DE=DC，得△DEA、△BCE都是等腰三角形，在RT△ABC中利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据tan∠ECB=tan∠AEF=$\frac{AF}{AE}$，求出AF、AE即可．

解答 解：（1）设CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，
过点O作OH⊥CD垂足为H，则CH=HD，
∴EH=0.5k，OE=0.5a，
∵AF是切线，
∴∠FAE=90°=∠OHE，
∵∠OEH=∠FEA，
∴△OHE∽△FAE，
∴$\frac{HE}{OE}$=$\frac{AE}{EF}$即$\frac{0.5k}{0.5a}$=$\frac{2a}{EF}$，
∴EF=$\frac{2{a}^{2}}{k}$，
∵CE•ED=BE•AE，
∴6k•5k=3a•2a，
∴a²=5k²，
∴EF=10k，
∴点D是EF中点，
∴AD=ED=DF=5k，
∴△DEA、△BCE都是等腰三角形，
∴BC=BE=3a，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC²+AC²=AB²，
∴（3a）²+8²=（5a）²，
∴a=2，
∴AB=5a=10．
（2）∵a=2，
∴k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AF²=DF•FC=80k²=64，
∴AF=8，
∴tan∠ECB=tan∠AEF=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{8}{4}$=2．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设两个参数，想办法求出EF的长，发现点D是EF中点这个突破口，题目比较难，属于中考压轴题．