Question

15．求证：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}{b}$-$\frac{a}{ab+1}$|．

Answer 1

分析 根据完全平方公式，可得二次根式的性质，根据二次根式的性质，可得答案．

解答 证明：左边=$\sqrt{（{a}^{2}+\frac{2a}{b}+\frac{1}{{b}^{2}}）-\frac{2a}{b}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$
=$\sqrt{（a+\frac{1}{b}）^{2}-\frac{2a}{b}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$
=$\sqrt{（a+\frac{1}{b}-\frac{a}{ab+1}）^{2}}$
=|a+$\frac{1}{b}$+$\frac{a}{ab+1}$|=右边，
∴$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}{b}$-$\frac{a}{ab+1}$|．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，利用完全平方公式得出二次根式的性质是解题关键．