Question

【题目】问题探究．

如图，在平面直角坐标系中，A(0，8)，C(6，0)，以O，A，C为顶点作矩形OABC，动点P从点A出发，沿AO以4个单位每秒的速度向O运动；同时动点Q从点O出发沿OC以3个单位每秒的速度向C运动．设运动时间为t，当动点P，Q中的任何一个点到达终点后，两点同时停止运动．连接PQ．

（情景导入）当t＝1时，求出直线PQ的解析式．

（深入探究）①连接AC，若△POQ与△AOC相似，求出t的值．

②如图，取PQ的中点M，以QM为半径向右侧作半圆M，直接写出半圆M的面积的最小值，并直接写出此时t的值．

（拓展延伸）如图，过点A作半圆M的切线，交直线BC于点H，于半圆M切于点N．

①在P，Q的整个运动过程中，点H的运动路径为　 　．

②若固定点H(6，2)不动，则在整个运动过程中，半圆M能否与梯形AOCH相切？若能，求出此时t的值；若不能，请证明．

Answer 1

【答案】【情景导入】y＝﹣x＋4；【深入探究】①1或；②；【拓展延伸】①；②能，t＝0或t＝2或t＝．

【解析】

【情景导入】

当t＝1时，点P、Q的坐标分别为：(0，4)、(3，0)，将点P、Q的坐标代入一次函数表达式即可求解；

【深入】

①如下图，tan∠ACO＝，△POQ与△AOC相似，则tan∠PQO＝＝或，即可求解；

②S＝π×（PM）2＝×[（）2＋（4﹣2t）2]＝（﹣16t＋16），即可求解；

【拓展】

①当t＝0时，点H与点B重合；当t＝2时，运动结束，设直线AH与半圆切于点N，则HQ＝NH，则AN＝AO＝8，设HQ＝NH＝a，则BH＝8﹣a，AH＝8＋a，在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2＋BH2，即（8＋a）2＝62＋（8﹣a）2，即可求解；

②（Ⅰ）当t＝0时，点P、Q分别与点A、O重合，则半圆M于CO相切；

（Ⅱ）当t＝2时，由①知，半圆M与BC相切；

（Ⅲ）当半圆M与直线AH相切时，则PM＝MN，即（）2＋（4﹣2t）2＝（x﹣）2＋（x﹣2t﹣4）2，即可求解．

解：【情景导入】当t＝1时，点P、Q的坐标分别为：(0，4)、(3，0)，

将点P、Q的坐标代入一次函数表达式：y＝kx＋b得：，解得：，

故直线PQ的表达式为：y＝﹣x＋4；

【深入探究】

点P、Q、M的坐标分别为：(0，8﹣4t)、(3t，0)、(，4﹣2t)，

①如下图，tan∠ACO＝，

△POQ与△AOC相似，

则tan∠PQO＝＝或，

解得：t＝1或；

②S＝π×（PM）2＝×[（）2＋（4﹣2t）2]＝（﹣16t＋16），

∵＞0，

故S有最小值为，此时t＝；

【拓展延伸】

①当t＝0时，点H与点B重合；

当t＝2时，运动结束，点H的位置如下图所示，

设直线AH与半圆切于点N，则HQ＝NH，则AN＝AO＝8，

设HQ＝NH＝a，则BH＝8﹣a，AH＝8＋a，

在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2＋BH2，

即（8＋a）2＝62＋（8﹣a）2，解得：a＝＝HQ，

则点H运动的路径为BH＝8﹣＝，

故答案为：；

②（Ⅰ）当t＝0时，点P、Q分别与点A、O重合，则半圆M于CO相切；

（Ⅱ）当t＝2时，由①知，半圆M与BC相切；

（Ⅲ）当半圆M与直线AH相切时，如下图，设切点为N，

由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝﹣x＋8，

设点N(x，8﹣x)，而点P、Q、M的坐标分别为：(0，8﹣4t)、(3t，0)、(，4﹣2t)，

则PM＝MN，即（）2＋（4﹣2t）2＝（x﹣）2＋（x﹣2t﹣4）2，

整理得：2x2﹣（7t＋8）x＋32t＝0，

由题意得：△＝（7t＋8）2﹣8×32t＝0，

即49t2﹣144t＋64＝0，

解得：t＝（不合题意的值已舍去）；

综上，t＝0或t＝2或t＝．