Question

如图，△ABC中，AB=AC=5，sinB=

4

5

．如果动点D以每秒1个单位长度的速度由点B出发，沿BA方向向点A匀速运动；同时，动点E以每秒2个单位长度的速度由点C出发沿CB方向向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒（t＞0），连接DE．
（1）当t为何值时，DE与AC平行？
（2）当t为何值时，四边形ADEC的面积有最小值？最小面积为多少？

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,二次函数的最值,勾股定理

专题：动点型

分析：（1）过A点做AF⊥BC，过D点做DG⊥BC，根据sinB=

4

5

，AB=AC=5，得出△ABC为等腰三角形，AF=4，根据勾股定理即可求得BF=3，进而得出BC=6，设经历时间t后，DE与AC平行，则：BE=6-2t，BD=t，根据平行线分线段成比例即可得出

t

5

=

6-2t

6

，求得t的值；
（2）四边形ADEC的面积最小，意味着△EBC的面积最大，在经历时间T后，△EBD的面积为S=

1

2

BE•DG，由于BD=T，BE=6-2T，根据sinB=

4

5

．得出DG=

4

5

T，根据三角形的面积公式得出S=

12

5

T-

4

5

T²=-

4

5

（T-

3

2

）+

9

5

，所以当T=1.5s时，S有最大值，为1.8，即可求得四边形ADEC有最小面积．

解答：解：（1）过A点做AF⊥BC，过D点做DG⊥BC；
由于sinB=

4

5

，AB=AC=5，
∴△ABC为等腰三角形，AF=4；
∴BF=

AB2-AF2

=

52-42

=3，
∴BC=2BF=2×3=6；
设经历时间t后，DE与AC平行，则：BE=6-2t，BD=t，
∵DE∥AC，
∴BD：BA=BE：BC，
即

t

5

=

6-2t

6

∴t=1.875s
（2）四边形ADEC的面积最小，意味着△EBC的面积最大，在经历时间T后，△EBD的面积为S=

1

2

BE•DG，
∵BD=T，BE=6-2T
∴DG=

4

5

T，S=

12

5

T-

4

5

T²=-

4

5

（T-

3

2

）+

9

5

，
∴当T=1.5s时，S有最大值，为1.8，
∵三角形ABC的面积为=

1

2

BC•AF=

1

2

×6×4=12，
∴此时四边形ADEC有最小面积，最小面积为10.2．

点评：本题考查了平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．