Question

如图：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，交AD于G．求证：（1）Rt△CBF≌Rt△ACD；
（2）AD⊥CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）先证出CD=DB，BF=DB，得出BF=CD，再证出∠CBF=∠ACD，由BC=AC，即可证出Rt△CBF≌Rt△ACD（SAS）；
（2）由Rt△CBF≌Rt△ACD得出∠BCF=∠CAD，从而证出∠AGC=90°，得出AD⊥CF．

解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠CBA=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，∠BDE=45°，
又∵BF∥AC∴∠CBF=90°，∴∠BFD=∠BDE=45°，∠BFD=∠ACD=90°，
∴BF=DB，
∵D为BC的中点，
∴CD=DB，
∴BF=CD，
在Rt△CBF和Rt△ACD中，

BC=AC   ∠CBF=∠ACD   BF=CD

∴Rt△CBF≌Rt△ACD（SAS）；
（2）由（1）得Rt△CBF≌Rt△ACD，
∴∠BCF=∠CAD，
∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°，即∠AGC=90°，
∴AD⊥CF．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是关键．