Question

8．如图所示，长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到长方形CEFG，连接DG交EF于H连接AF交DG于点M，若AB=4，BC=1，则AM=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

Answer 1

分析 连结AC、CF．先根据旋转的性质得出△ACF是等腰直角三角形．在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{17}$，在Rt△CAF中，由勾股定理得出AF=$\sqrt{A{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{34}$．再证明△FHG是等腰直角三角形，得到FH=AD，证明△ADM≌△FHM，得出AM=FM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

解答 解：如图，连结AC、CF．
∵长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到长方形CEFG，
∴DC=GC，AC=FC，∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=1，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴FC=AC=$\sqrt{17}$．
在Rt△CAF中，由勾股定理得，
AF=$\sqrt{A{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
∵DC=GC，∠DCG=90°，
∴∠DGC=45°，
∴∠FGH=90°-∠DGC=45°，
∴△FHG是等腰直角三角形，
∴FH=FG，
∵FG=AD，
∴FH=AD．
在△ADM与△FHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠FHM}\\{∠AMD=∠FMH}\\{AD=FH}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△FHM，
∴AM=FM，
∵AM+FM=AF=$\sqrt{34}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线，利用数形结合是解题的关键．