Question

18．如图，已知一次函数y=2x的图象与反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0），y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．
（1）直接写出k的值；
（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；
（3）直线y=2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点P（m，$\frac{2}{m}$），Q（n，$\frac{k}{n}$），根据P为OQ的中点，即可得出m、n之间的关系，由此即可得出k值；
（2）△ABC的面积不变，设A（a，$\frac{8}{a}$）（a＞0），根据AB、AC与坐标轴平行找出点B、C的坐标，由此即可得出AB、AC，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）假设存在，设A（a，$\frac{8}{a}$）（a＞0），则C（a，$\frac{2}{a}$），B（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$）．以A，B，C，D为顶点的四边形分别是以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质找出点D的坐标，再根据点D在直线y=2x上找出关于a的方程，解方程求出a值，将其代入A点坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）∵点P在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，点Q在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴设点P（m，$\frac{2}{m}$），Q（n，$\frac{k}{n}$），
∵点P为OQ的中点，
∴n=2m，$\frac{k}{n}$=2•$\frac{2}{m}$，
∴k=8．
（2）△ABC的面积不变，
设A（a，$\frac{8}{a}$）（a＞0），则C（a，$\frac{2}{a}$），
令y=$\frac{2}{x}$中y=$\frac{8}{a}$，则x=$\frac{a}{4}$，
∴点B（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$），
∴AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3a}{4}$，AC=$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{6}{a}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$•$\frac{3a}{4}$•$\frac{6}{a}$=$\frac{9}{4}$．
（3）假设存在，设A（a，$\frac{8}{a}$）（a＞0），则C（a，$\frac{2}{a}$），B（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$）．
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况：
①以AB为对角线，
则点D（a+$\frac{a}{4}$-a，$\frac{8}{a}$+$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$），即（$\frac{a}{4}$，$\frac{14}{a}$），
∵点D在y=2x上，
∴$\frac{14}{a}$=2•$\frac{a}{4}$，
解得：a=2$\sqrt{7}$或a=-2$\sqrt{7}$（舍去），
此时点A（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）；
②以AC为对角线，
则点D（a+a-$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$+$\frac{2}{a}$-$\frac{8}{a}$），即（$\frac{7a}{4}$，$\frac{2}{a}$），
∵点D在y=2x上，
∴$\frac{2}{a}$=2•$\frac{7a}{4}$，
解得：a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$或a=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$（舍去），
此时点A（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$）；
③以BC为对角线，
则点D（$\frac{a}{4}$+a-a，$\frac{8}{a}$+$\frac{2}{a}$-$\frac{8}{a}$），即（$\frac{a}{4}$，$\frac{2}{a}$），
∵点D在y=2x上，
∴$\frac{2}{a}$=2•$\frac{a}{4}$，
解得：a=2或a=-2（舍去），
此时点A（2，4）．
故直线y=2x存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点A的坐标为（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）、（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$）或（2，4）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点P为OQ的中点找出m、n的关系；（2）求出S_△ABC为定值；（3）分别以AB、AC、BC为对角线找出点D的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质--对角线互相平分，由平行四边形的三个顶点坐标表示出第四个顶点的坐标是关键．