Question

9．如图，已知C是线段AB上的任意一点（除端点外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N．
（1）求证：△AMD∽△EMC；
（2）求证：MN∥AB．

Answer 1

分析 （1）根据△ACD和△BCE是等腰直角三角形，得到∠DAC=∠ECB=45°，推出CE∥AD，即可得到结论；
（2）由△AMD∽△EMC，得到$\frac{AM}{NE}$=$\frac{AD}{CE}$，由△CND∽△ENB；得到$\frac{CN}{NE}=\frac{DC}{BE}$等量代换得到$\frac{CN}{NE}$=$\frac{AM}{ME}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠ECB=45°，
∴CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC；

（2）∵△AMD∽△EMC，
∴$\frac{AM}{NE}$=$\frac{AD}{CE}$，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠CBE=45°，
∴CD∥BE，
∴△CND∽△ENB；
∴$\frac{CN}{NE}=\frac{DC}{BE}$
∴CD=AD，BE=CE，
∴$\frac{CN}{NE}$=$\frac{AM}{ME}$，
∴MN∥AB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．