Question

14．已知⊙O过点D（3，4），点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A，图1所示．
（1）求sin∠HAO的值．
（2）如图2，设⊙O与x轴正半轴交点为F，点B是弧FH上的一个动点（与点H不重合），将射线DB沿DH翻折交⊙O于点C，直线BC交x轴于点G．在点B运动过程中，sin∠OGC的值是否发生变化？并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）连接OH，利用关于x轴的点的坐标特征得到H（3，-4），再根据切线的性质，由AH与⊙O相切于H得到OH⊥AH，则可利用等角的余角相等得到∠HAO=∠QHO；在Rt△OQH中，根据勾股定理计算出OH=5，然后根据正弦的定义计算出sin∠QHO的值，即sin∠HAO的值可求出；
（2）sin∠OGC的值不变，连结OH，则OH⊥BC，又因为DH⊥OA，所以∠OHE+∠GOH=90°，进而可得∠OGC=∠OHE，所以sin∠OGE=sin∠EHO问题得解．

解答 解：（1）连结OH，
∵AH与⊙O相切于点H，
∴∠OHA=90°，
∵D、H关于x轴对称，D为（3，4），
∴DH⊥OA，H为（3．-4），
∴OH=5，∠HAO=∠EHO，
∴sin∠HAO=sin∠EHO=$\frac{OE}{OH}$=$\frac{3}{5}$；
（2）sin∠OGC的值不变．      
理由如下：如2图
∵射线DB沿DH翻折交⊙O于点C，
∴∠CDH=∠BDH，
∴弧CH=弧BH，
连结OH，则OH⊥BC，
∴∠OGC+∠GOH=90°，
又∵DH⊥OA，
∴∠OHE+∠GOH=90°，
∴∠OGC=∠OHE，
∴sin∠OGE=sin∠EHO=$\frac{OE}{OH}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、圆周角定理和切线的性质；会运用勾股定理和锐角三角函数的定义进行几何计算；理解关于x轴对称的点的坐标特征和坐标与图形性质．