Question

1．已知菱形ABCD，点A和点D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，0为坐标轴原点，点A，D坐标分别是A（-4，0）和D（0，3），抛物线的对称轴是直线x=$\frac{5}{2}$；抛物线的图象y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B，D； 
（1）求出抛物线对应的解析式．
（2）试判断C点是否在抛物线上，并说明理由．
（3）图（1）中，若M点在CB所在直线下方，过点M作MN∥OD，交BC于点N；设点M的横坐标为a，MN的长度为b，并求出b最值．
（4）图（2）中，在（3）的条件下，设线段MN与x轴的交点为E，过点C作CF⊥OX，垂足是F，当△BEN与△BCF相似比为1：2时，连接MF；试判断四边形NMFC是否为平行四边形，并求出此时点E的坐标．

Answer 1

分析 （1））由抛物线与x轴的交点B（1，0），且抛物线的对称轴为x=$\frac{5}{2}$，推出抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-4），将点D（0，3）代入，得：4a=3，由此即可解决问题．
（2）求出点C坐标，利用待定系数法即可判定．
（3）求出直线BC的解析式，由MN∥OD，点M的横坐标为a，可得M（a，$\frac{3}{4}$a²-$\frac{15}{4}$a+3）、N（a，$\frac{3}{4}$a-$\frac{3}{4}$），当点M在在CB所在直线下方时，MN=（$\frac{3}{4}$a-$\frac{3}{4}$）-（$\frac{3}{4}$a²_$\frac{15}{4}$a+3）=-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{2}$a-$\frac{15}{4}$=-$\frac{3}{4}$（a-3）²+$\frac{11}{2}$，利用二次函数的性质即可解决问题．
（4）结论：四边形MNCF是平行四边形．由△BEN与△BCF相似比为1：2，推出NE：FC=BE+BF=1：2，推出BE=EF=2，由F（5，0），B（1，0），推出E（3，0），推出N（3，$\frac{3}{2}$），M（3，-$\frac{3}{2}$），可得MN=3，由此即可证明．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴的交点B（1，0），且抛物线的对称轴为x=$\frac{5}{2}$，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-4），
将点D（0，3）代入，得：4a=3，
解得：a=$\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$（x-1）（x-4）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；

（2）∵OA=4，OD=3，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，且AB=CD=AD=5，
则点C坐标为（5，3），
当x=5时，y=$\frac{3}{4}$×25-$\frac{15}{4}$×5+3=3，
∴点C在抛物线上；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
将点B（1，0）、C（5，3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$；
∵MN∥OD，点M的横坐标为a，
∴M（a，$\frac{3}{4}$a²-$\frac{15}{4}$a+3）、N（a，$\frac{3}{4}$a-$\frac{3}{4}$），
当点M在在CB所在直线下方时，MN=（$\frac{3}{4}$a-$\frac{3}{4}$）-（$\frac{3}{4}$a²_$\frac{15}{4}$a+3）=-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{2}$a-$\frac{15}{4}$=-$\frac{3}{4}$（a-3）²+$\frac{11}{2}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴a=3时，MN有最大值，最大值为$\frac{11}{2}$，
∴b的最大值为$\frac{11}{2}$．

（4）结论：四边形MNCF是平行四边形．
理由：∵△BEN与△BCF相似比为1：2，
∴NE：FC=BE+BF=1：2，
∴BE=EF=2，
∵F（5，0），B（1，0），
∴E（3，0），
∴N（3，$\frac{3}{2}$），M（3，-$\frac{3}{2}$），
∴MN=3，
∵CF=3，
∴MN∥CF，MN=CF，
∴四边形MNCF是平行四边形，此时E（3，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、勾股定理、一次函数的应用、平行四边形的性质和判定、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．