Question

5．如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点．
（1）求证：MN=PQ；
（2）如图2，当BD=$\frac{1}{3}BC$时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由；
（3）若BC=6，请你直接写出点M、点N、点P、点Q围成的图形共有哪些形状及对应的BD的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理证明MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ=$\frac{1}{2}$AF，根据轴对称得到AC=AF，得到答案；
（2）根据相似三角形的判定定理证明△PDN∽△EDB，得到MQ∥PN且MQ=PN，得到四边形MQNP是平行四边形，根据MN=PQ，证明四边形MQNP是矩形；
（3）由（1）（2）的结论进行解答即可．

解答 （1）证明：如图1，
∵△ABC与△AEF关于直线AD对称，
∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，
∵点M、N、P、Q分别是AB、BC、EF、EA的中点，
∴MN、PQ分别是△ABC和△AEF的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ=$\frac{1}{2}$AF，
∴MN=PQ；
（2）解：当BD=$\frac{1}{3}$BC时，点M、点N、点P、点Q围成的四边形是矩形．
如图2，连结BE、MN、PQ，，
∵点M、点Q是AB、AE的中点．
∴MQ∥BE且MQ=$\frac{1}{2}$BE，
∵点N是BC中点，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，
又∵BD=$\frac{1}{3}$BC，
∴DN=BN-BD=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{6}$BC，
∴$\frac{DN}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∵点B与点E关于直线AD对称，
∴BE⊥AD，
同理PN⊥AD，
∴BE∥PN，
∴△PDN∽△EDB，
∴$\frac{PN}{BE}$=$\frac{DN}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴MQ∥PN且MQ=PN，
∴四边形MQNP是平行四边形，
∵MN=PQ，
∴四边形MQNP是矩形．
（3）由图形和（2）的结论可知，
当BD=0时，点M、点N、点P、点Q围成等腰三角形；
当0＜BD＜2时，点M、点N、点P、点Q围成等腰梯形；
当BD=2时，点M、点N、点P、点Q围成矩形；
当2＜BD＜3时，点M、点N、点P、点Q围成等腰梯形；
当BD=3时，点M、点N、点P、点Q围成等腰三角形；
当3＜BD＜6时，点M、点N、点P、点Q围成等腰梯形；
当BD=6时，点M、点N、点P、点Q围成矩形．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的判定和三角形中位线定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键．