Question

9．如图，在边长为$\sqrt{3}$的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．

解答 解：如图，，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC=\sqrt{3}}\\{∠ABE=BCF=90°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，
∵点P在运动中保持∠APB=90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG=$\sqrt{{BC}^{2}{+BG}^{2}}=\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵PG=$\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴CP=CG-PG=$\frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$，
即线段CP的最小值为 $\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

点评 （1）解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（3）此题还考查了正方形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．