Question

3．如图，过圆O直径AB上的点C作AB的垂线交圆O于点D，再过D点作圆的切线l，然后过C点作l的垂线交l于点E，若AC=a，CB=b，那么CE长为（　　）

• A． $\frac{2ab}{a+b}$
• B． $\sqrt{ab}$
• C． $\frac{a+b}{2}$
• D． $\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$

Answer 1

分析 连接OD，如图，先表示出OD=$\frac{1}{2}$（a+b），OC=$\frac{1}{2}$（b-a），在利用勾股定理计算出CD=$\sqrt{ab}$，接着利用切线的性质得OD⊥l，则OD∥CE，所以∠ODC=∠ECD，然后证明Rt△ODC∽Rt△DCE，在利用相似比可计算出CE．

解答 解：连接OD，如图，
∵AB=AC+BC=a+b，
∴OD=$\frac{1}{2}$（a+b），
∴OC=$\frac{1}{2}$（a+b）-a=$\frac{1}{2}$（b-a）
∵CD⊥AB，
∴∠DCO=90°，
在Rt△DCO中，CD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{ab}$，
∵l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥l，
而CE⊥l，
∴OD∥CE，
∴∠ODC=∠ECD，
∴Rt△ODC∽Rt△DCE，
∴CD：CE=OD：CD，即$\sqrt{ab}$：CE=$\frac{1}{2}$（a+b）：$\sqrt{ab}$，
∴CE=$\frac{2ab}{a+b}$．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了利用相似比计算线段的长．