Question

12．圆O₁与圆O₂半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O₂的切线，被圆O₁所截得的最短弦长为（　　）

• A． -1
• B． 8
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由条件可知两圆内含，不妨设截得的弦为AB，切点为C，由半径、弦心距和弦长的关系可知，在半径一定的情况下，弦心距越小，则弦越长，由圆外一点可到圆上各点的距离可知当切点C在边心线上时，满足条件，连接O₁A，在Rt△ACO₁中，由勾股定理可求得AC的长，则可求得弦长．

解答 解：
∵圆O₁与圆O₂半径分别为4和1，圆心距为2，
∴4-1＜2，故两圆内含，
不妨设截得的弦为AB，切点为C，连接O₁A，连接O₁O₂，O₂C，
∵半径确定，
∴弦心距越小，则弦越长，
∵AB是⊙O₂的切线，
∴O₂C⊥AB，
∴当O₁、O₂、C在一条线上时，弦AB最短，
由题意可知OC₁=2+1=3，AO₁=4，
在Rt△ACO₁中，由勾股定理可得AC=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AB=2AC=2$\sqrt{7}$，
故选C．

点评 本题主要考查垂径定理的应用及最短弦的判定，由条件判断出最短弦的位置是解题关键．