Question

5．平面直角坐标系内，直线AB过一，二，三象限，分别交x，y轴于A，B两点，直线CD⊥AB于D，分别交x，y轴于C，E．已知AB=AC=10，S_△ACD=24，且B（0，6），
（1）①求证：△AOB≌△ADC；②求A点的坐标；
（2）连接OD，AE，求证：OD⊥AE；
（3）点M为线段OA上的动点，作∠NME=∠OME，且MN交AD于点N，当点M运动时，求$\frac{MO+ND}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AB知∠ADC=∠AOB=90°，根据已知条件依据AAS可判定△AOB≌△ADC，故S_△AOB=S_△ACD，即24=OA×6÷2，得OA=8，知A（-8，0）；
（2）由（1）知AD=AO，又AD⊥EC、AO⊥EO，故点A在∠OED的角平分线上，可得OD⊥AE；
（3）作EF⊥MN、连接NE，知EF=EO=ED、MF=MD，进而易得ND=NF，故$\frac{MO+ND}{MN}$的值为1．

解答 解：（1）①证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AOB=90°，
在△AOB与△ADC中：
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠ADC}\\{∠BAO=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△ADC（AAS）；
②∵△AOB≌△ADC，B（0，6），
∴S_△AOB=S_△ACD=24=OA×6÷2=3OA，
解得：OA=8，
即A点坐标为（-8，0）；
（2）∵△AOB≌△ADC，
∴AD=AO，
又∵AD⊥EC，AO⊥EO，
∴点A在∠OED的角平分线上，
∴OD⊥AE；
（3）过点E作EF⊥MN于点F，连接NE，

∵∠NME=∠OME，EF⊥MN，EO⊥MO，
∴EF=EO，MF=MO，
由（2）知，点E在∠OAD平分线上，ED⊥AD，EO⊥AO，
∴EO=ED，
∴EF=ED，
在RT△EDN和RT△EFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=FE}\\{NE=NE}\end{array}\right.$，
∴RT△EDN≌RT△EFN（HL），
∴ND=NF，
∴$\frac{MO+ND}{MN}$=$\frac{MF+NF}{MN}$=$\frac{MN}{MN}$=1．

点评 本题主要考查角平分线的性质、全等三角形性质和判定，利用角平分线的性质为两三角形全等创造条件是关键．