Question

13．已知，如图所示，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，D、E为垂足，F是BC的中点，连接DF、EF．求证：DF=EF．

Answer 1

分析 连接AF，由BD⊥DE，CE⊥DE知∠BDA=∠BAC=∠CEA=90°，故∠ABD=∠CAE，继而根据AAS得△ABD≌△CAE，AE=BD，∠ABD=∠CAE；F是BC中点可得AF=$\frac{1}{2}$BC=CF=BF，∠ACF=∠CAF=∠ABF，即∠FBD=∠FAE，根据SAS判定△FBD≌△FAE，得证．

解答 证明：连接AF，

∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠BAC=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD，∠ABD=∠CAE，
∵F是BC中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC=CF=BF，
∴∠ACF=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴∠ACF=∠ABF，
∴∠CAF=∠ABF，
∴∠CAF+∠CAE=∠ABF+∠ABD，即∠FBD=∠FAE，
在△FBD和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠DBF=∠FAE}\\{BF=AF}\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△FAE（SAS），
∴DF=EF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质及直角三角形斜边中线的性质，通过证明一对三角形全等，为另一组三角形全等创造条件是关键．