Question

19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）试判定：①BD=AE吗？②DE与CE、BD的关系，并说明理由；
（2）将MN绕点A旋转，当DE与BC相交时（交点不在B、C两点），BD=AE吗？画出图形说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由条件证明△ADB≌△CEA就可以得出结论；
②由△ADB≌△CEA可以得出AD=CE，就可以得出DE=CE+BD．
（2）由∠BAC=90°，则∠BAD+∠CAD=90°，又BD⊥MN，CE⊥MN，则∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，AAS即可证明△ABD≌△CAE；

解答 解：（1）①BD=AE．
理由：∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE；
②DE=CE+BD．
理由：∵△ADB≌△CEA，
∴AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD．

（2）如图，结论仍然成立．BD=AE．
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，又AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠BAD=∠ACE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．