Question

11．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，理由勾股定理计算出BF=5a，BE=2$\sqrt{5}$a，EF=$\sqrt{5}$a，理由勾股定理的逆定理可证明△BEF为直角三角形，∠BEF=90°，再计算$\frac{AE}{DF}$=$\frac{2a}{a}$=2，$\frac{AB}{DE}$=$\frac{4a}{2a}$=2，则$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$，根据相似三角形的判定即可得到Rt△ABE∽Rt△DEF，同理得Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF．

解答 解：有三对相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF．
理由如下：
设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，
在Rt△BCF中，BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=5a，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
在Rt△DEF中，EF=$\sqrt{D{F}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵BE²+EF²=BF²，
∴△BEF为直角三角形，∠BEF=90°，
∵$\frac{AE}{DF}$=$\frac{2a}{a}$=2，$\frac{AB}{DE}$=$\frac{4a}{2a}$=2，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$，
∴Rt△ABE∽Rt△DEF，
同理得$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AE}{EF}$，
∴Rt△ABE∽Rt△EBF，
∴Rt△EBF∽Rt△DEF．
故选：C．

点评 本题考查了勾股定理、相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．