Question

2．如图，已知y=-x+m（m＞4）过动点A（m，0），并与反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象交于B、C两点（点B在点C的左边），以OA为直径作反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象相交的半圆，圆心为P，过点B作x轴的垂线，垂足为E，并于半圆P交于点D．
（1）当m=5时，求B、C两点的坐标．
（2）求证：无论m取何值，线段DE的长始终为定值．
（3）记点C关于直线DE的对称点为C′，当四边形CDC′E为菱形时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把M=5代入一次函数解析式中，与反比例函数列方程组解出即可；
（2）作辅助线，如图1，证明△ODE∽△DAE，列比例式得：$\frac{DE}{AE}=\frac{OE}{DE}$，则DE²=OE•AE=OE•BE=4，所以线段DE的长始终为定值；
（3）根据菱形的性质求出C的坐标，代入一次函数的解析式中可得m的值．

解答 解：（1）把m=5代入y=-x+m中得：y=-x+5，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$   解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴B（1，4），C（4，1）；
（2）如图1，连接OD、AD，
∵A（m，0），
∴OA=m，
y=-x+m中，当x=0时，y=m，则F（0，m），
∴OF=m，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵BE⊥OA，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE，
∵OA是⊙P的直径，
∴∠ODA=90°，
∵∠ODE=∠OAD，
∵∠OED=∠DEA=90°，
∴△ODE∽△DAE，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{OE}{DE}$，
∴DE²=OE•AE=OE•BE，
∵B是反比例函数上的点，即OE•BE=4
∴无论m取何值，线段DE的长始终为定值；
（3）如图3，连接CC′，设DE与CC′交于G，
由（2）得：DE²=4，
∴DE=2，
∵四边形CDC′E为菱形，
∴DG=EG=1，
∴C的纵坐标为1，
当y=1时，$\frac{4}{x}$=1，x=4，
∴C（4，1），
把C（4，1）代入y=-x+m中得：-4+m=1，
m=5．

点评 本题是圆与函数的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、利用方程组的解求两函数的交点坐标、菱形的性质、三角形相似的性质和判定等知识，涉及的知识点较多，比较复杂，熟练掌握三角形相似的判定及菱形的性质是关键．