Question

17．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（-10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（-4，3），或（-1，3），或（-9，3）．

Answer 1

分析 先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；
（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；
②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．

解答 解：∵A（-10，0），C（0，3），
∴OA=10，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=3，
∵D是OA的中点，
∴AD=OD=5，
分情况讨论：
（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴点P的坐标为：（-4，3）；
（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：
①如图1所示：作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，DE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴PC=OE=5-4=1，
∴点P的坐标为：（-1，3）；
②如图2所示：作PF⊥OA于F，
则DF=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴PC=OF=5+4=9，
∴点P的坐标为：（-9，3）；
综上所述：点P的坐标为：（-4，3），或（-1，3），或（-9，3）；
故答案为：（-4，3），或（-1，3），或（-9，3）．

点评 本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．