Question

2．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动$\frac{2}{3}$秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求点B的坐标，并用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，矩形对角线AC，BO交于M，取OM中点G，BM中点H，求证：当t=1时四边形DGPH是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由O（0，0），A（6，0），C（0，3），可得：OA=6，OC=3，根据矩形的对边平行且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，进而可得点B的坐标为：（6，3），然后根据P点与Q点的运动速度与运动时间即可用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）由翻折的性质可知：△OPQ≌△DPQ，进而可得：DQ=OQ，然后由t=1时，DQ=OQ=$\frac{5}{3}$，CQ=OC-OQ=$\frac{4}{3}$，然后利用勾股定理可求CD的值，进而可求点D的坐标；
（3）由（1），（2）知：当t=1时，CD=AP=1，OA=BC=6，进而可得：BD=OP=5，然后由矩形的性质可得：OG=BH，∠CBO=∠AOB，然后根据SAS证明△POG≌△DBH，进而可得PG∥DH，PG=DH，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证：当t=1时四边形DGPH是平行四边形．

解答 （1）解：∵O（0，0），A（6，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=3，BC=OA=6，
∴B（6，3），
∵动点Q从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动$\frac{2}{3}$秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．
∴当点P的运动时间为t（秒）时，
AP=t，OQ=$\frac{2}{3}$+t，
则OP=OA-AP=6-t；
（2）解：当t=1时，OQ=$\frac{5}{3}$，则CQ=CQ=OC-OQ=$\frac{4}{3}$，
由折叠可知：△OPQ≌△DPQ，
∴OQ=DQ=$\frac{5}{3}$，
由勾股定理，得：CD=1，
∴D（1，3）；
（3）证明：如图所示，

由（1），（2）知：当t=1时，
CD=AP=1，OA=BC=6
∴BC-CD=OA-AP，即BD=OP=5，
∵四边形OABC是矩形，
∴OM=MB，OA∥BC，
∵G为OM中点，H为BM中点，
∴OG=BH，
∵OA∥BC，
∴∠CBO=∠AOB，
在△POG和△DBH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=OP}\\{∠CBO=∠AOB}\\{BH=OG}\end{array}\right.$，
∴△POG≌△DBH（SAS），
∴∠OGP=∠BHD，PG=DH，
∴∠MGP=∠DHM，
∴PG∥DH，
∵PG=DH，
∴四边形DGPH是平行四边形．
故当t=1时四边形DGPH是平行四边形．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了动点的问题、矩形的性质、平行四边的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解（1）的关键是：明确矩形的对边相等；解（2）的关键是：由翻折的性质可知：△OPQ≌△DPQ；解（3）的关键是：根据SAS证明△POG≌△DBH．