Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且D是BC中点，过点A作AE∥DC，取AE=DC，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）求证：平行四边形ADCE是菱形；
（3）连接DE交AC于点O，过点O作OF⊥DC，若DF=8，AC=6，求OF．

Answer 1

考点：菱形的判定,平行四边形的判定

专题：

分析：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AD=

1

2

BC，然后再证明AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（3）首先利用勾股定理以及射影定理得出关于OF的关系式进而求出即可．

解答：（1）证明：∵AE∥DC，AE=DC，
∴四边形ADCE是平行四边形；

（2）证明：∵∠BAC=90°，且D是BC中点，
∴AD=

1

2

BC，CD=

1

2

BC，
∴AD=DC，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是菱形；

（3）解：设FC=x，FO=y，
∵平行四边形ADCE是菱形，
∴∠DOC=90°，
∵FO⊥DC，
∴可得：FO²=DF×FC，FO²+FC²=CO²，
∵DF=8，AC=6，∴CO=3，
即y²=8x，y²+x²=9，
解得；x=1，
故y=2

2

，
即OF的长为2

2

．

点评：此题主要考查了菱形、平行四边形的判定，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．