Question

8．已知点M（-3，0），点N是点M关于原点的对称点，点A是函数y=-x+3$\sqrt{2}$图象上的一点，若△AMN是直角三角形，则点A的坐标为（　　）

• A． （3，3$\sqrt{2}$）或（-3，3+3$\sqrt{2}$）
• B． （-3，3+3$\sqrt{2}$）或（3，3$\sqrt{2}$）或（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）
• C． （-3，3+3$\sqrt{2}$）或（3，3$\sqrt{2}$-3）或（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）
• D． （-3，3+3$\sqrt{2}$）或（3，3$\sqrt{2}$-3）或（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 分别过点M、N作x轴垂线与直线交点即为所求，由M、N点坐标可得点A坐标；在直线上取一点（x，-x+3$\sqrt{2}$），根据AM²+AN²=MN²列出关于x的方程，解方程可得第三个点A的坐标．

解答 解：①如图，过点M（-3，0）作x轴垂线交直线y=-x+3$\sqrt{2}$于点A₁，则A₁的坐标为（-3，3+3$\sqrt{2}$）；

②过点N（3，0）作x轴垂线交直线y=-x+3$\sqrt{2}$于点A₂，则A₂的坐标为（3，-3+3$\sqrt{2}$）；
③设直线y=-x+3$\sqrt{2}$上的点A₃坐标为（x，-x+3$\sqrt{2}$），
根据题意，A₃M²+A₃N²=MN²，即（-3-x）²+（x-3$\sqrt{2}$）²+（3-x）²+（x-3$\sqrt{2}$）²=6²，
整理，得：2x²-6$\sqrt{2}$x-9=0，
解得：x=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
当x=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$时，y=-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴点A₃的坐标为（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$），
综上，点A的坐标为（-3，3+3$\sqrt{2}$）、（3，-3+3$\sqrt{2}$）、（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$），
故选：D．

点评 本题主要考查一次函数图象上点的坐标、两点间距离公式、勾股定理，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．