Question

17．如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、CD的中点，现将矩形的一角沿过点B的折痕BM对折，使得点A落在线段EF上，记为N，则：
（1）∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°；
（2）△MGN是正三角形；
（3）EG=0.5GN；
（4）△MGN和△BGN的面积相等．
以上说法，正确的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 先根据翻折的性质求出∠ABM、∠MBN和∠NBC的关系，再由∠ABM+∠MBN+∠NBC=90°，继而求出∠NBC的值，再根据平行线的性质和周角的定义得到∠MNF的度数，从而求出∠MNG=60°，进而判断出△MNG为等边三角形，利用中位线和等边三角形，得出EG=0.5GN；最后用同底等高的三角形面积相等．

解答 解：∵折叠纸片使A点落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，
∴△ABM≌△NBM，
∴∠ABM=∠MBN，如图，

延长MN交BC于H，并过N作PQ⊥EF，交AD于P，交BC于Q，
∵点E，F是AB，DC中点，
∴EF‖AD‖BC 且AE=EB，
∴PQ⊥AD，PQ⊥BC，且PN=NQ，
又∵∠MNP=∠HNQ （对顶角相等），
∴Rt△MNP≌Rt△HNQ，
∴MN=HN，
又∵BN⊥MN，BN=BN，
∴△BMN≌△BHN，
∴∠MBN=∠NBH=∠NBC，
∴∠ABM=∠MBN=∠NBC，
∵∠ABM+∠MBN+∠NBC=90°，
∴∠ABM=∠MBN=∠NBC=90°÷3=30°，∴（1）正确，
∴∠FNB=150°，
∴∠MNF=360°-90°-150°=120°．
∴∠MNE=60°，
∴∠DMN=60°，
∴∠AMB=∠NMB=60°，
∴△MNG是等边三角形，∴（2）正确；
∴AM=MN=NG
∵EF∥AD，点E是AB中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$NG，∴（3）正确，
∵S_△MGN=$\frac{1}{2}$GN×AE，S_△BGN=$\frac{1}{2}$GN×BE
而AE=BE，
∴S_△MGN=S_△BGN，∴（4）正确，
故选：D

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，中点的意义，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，解本题的关键是判断出∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°．