Question

18．关于x的一元二次方程a²x²+2ax-3=0（a≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）当a＜0时，设原方程的两个根分别为x₁、x₂，且x₁＞x₂
①当-2≤a＜-1时，求：x₁，x₂的取值范围；
②设点A（a，x₁），B（a，x₂）是平面直角坐标系xOy中的两点，且$OA=\sqrt{3}OB$，求证：△ABO是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求出判别式△=16a²，判断出△＞0即可；
（2）有条件和一元二次方程的求根公式求出x₁=-$\frac{3}{a}$，x₂=$\frac{1}{a}$，①由-2≤a＜-1，得出$\frac{3}{2}≤{x_1}＜3$，$-1＜{x_2}≤-\frac{1}{2}$，即可；
②由条件用a表示出∴（a，-$\frac{3}{a}$），B（a，$\frac{1}{a}$），根据平面坐标系内两点间的距离公式求出AB²=$\frac{16}{{a}^{2}}$，OA²=a²+$\frac{9}{{a}^{2}}$，OB²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$再由$OA=\sqrt{3}OB$，求出a²=$\sqrt{3}$，最后用勾股定理
的逆定理即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程a²x²+2ax-3=0（a≠0）．
△=（2a）²-4a²×（-3）=16a²＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵关于x的一元二次方程a²x²+2ax-3=0（a≠0）．
∴x=$\frac{-2a±\sqrt{16{a}^{2}}}{2{a}^{2}}$=$\frac{-1±2}{a}$，
∵x₁＞x₂，a＜0，
∴x₁=-$\frac{3}{a}$，x₂=$\frac{1}{a}$，
①∵-2≤a＜-1，
∴$\frac{3}{2}≤{x_1}＜3$，$-1＜{x_2}≤-\frac{1}{2}$，
②∵点A（a，x₁），B（a，x₂），x₁=-$\frac{3}{a}$，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴A（a，-$\frac{3}{a}$），B（a，$\frac{1}{a}$），
∴AB²=（-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}{a}$）²=$\frac{16}{{a}^{2}}$
OA²=a²+（-$\frac{3}{a}$）²=a²+$\frac{9}{{a}^{2}}$，
OB²=a²+（$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$
∵$OA=\sqrt{3}OB$，
∴OA²=3OB²
∴a²+$\frac{9}{{a}^{2}}$=3（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）
∴a²=$\sqrt{3}$，
∴AB²=$\frac{16}{{a}^{2}}$=$\frac{16}{\sqrt{3}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
OA²=a²+$\frac{9}{{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$
OB²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△ABO是直角三角形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了一元二次方程的判别式，求根公式，平面坐标系内两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，解本题的关键是求出x₁，x₂．