如图.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A.D.与y轴的交点为C.且A.对称轴是直线x=1．(1)求二次函数的解析式,(2)若M是第四象限抛物线上一动点.且横坐标为m.设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式.并求出当m为何值时.四边形OCMA的面积最大,(3)设点B是x轴上的点.P是抛物线上的点.是否存在点P.使得以A.B.C.P四点为顶点的四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，-3），对称轴是直线x=1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用抛物线的对称性可得到点D的总表，然后将A、C、D的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值，从而可得到二次函数的解析式；
（2）设M（m，$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3），|y_M|=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3，由S=S_△ACM+S_△OAM可得到S与m的函数关系式，然后利用配方法可求得S的最大值；
（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，则点P的纵坐标为-3，将y=-3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标；当AB为对角线时，AB与CP互相平分，则点P的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标．

解答解：（1）∵A（4，0），对称轴是直线x=l，
∴D（-2，0）．
又∵C（0，-3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$
解得．a=$\frac{3}{8}$，b=-$\frac{3}{4}$，c=-3，
∴二次函数解析式为：y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3．

（2）如图1所示：

设M（m，$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3），|y_M|=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3，
∵S=S_△ACM+S_△OAM
∴S=$\frac{1}{2}$×OC×m+$\frac{1}{2}$×OA×|y_M|=$\frac{1}{2}$×3×m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m+6=-$\frac{3}{4}$（m-2）²+9，
当m=2时，s最大是9．

（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，
∴PC∥x轴．
∴点P的纵坐标为-3．
将y=-3代入得：$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=-3，解得：x=0或x=2．
∴点P的坐标为（2，-3）．
当AB为对角线时．
∵ABCP为平行四边形，
∴AB与CP互相平分，
∴点P的纵坐标为3．
把y=3代入得：$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=3，整理得：x²-2x-16=0，解得：x=1+$\sqrt{17}$或x=1-$\sqrt{17}$．
综上所述，存在点P（2，-3）或P（1+$\sqrt{17}$，3）或P（1-$\sqrt{17}$，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．