题目内容

4．【问题情境】
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长
最小？最小值是多少？
【数学模型】
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+$\frac{a}{x}$）（x＞0）．
【探索研究】
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象性质．
（1）结合问题情境，函数y=x+$\frac{1}{x}$的自变量x的取值范围是x＞0，如表是y与x的几组对应值．
x…$\frac{1}{4}$$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$123m…
y…4$\frac{1}{4}$3$\frac{1}{3}$2$\frac{1}{2}$22$\frac{1}{2}$3$\frac{1}{3}$4$\frac{1}{4}$…
①写出m的值；
②画出该函数图象，结合图象，得出当x=1时，y有最小值，y最小=2；
【解决问题】
（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．

分析 （1）①根据求代数式的值的方法将x的值函数的解析式求出其值就可以了．
②根据①表中的数据画出函数的图象，再结合表中的数据就可以写出图象的相应的性质．
（2）把x=$\sqrt{a}$直接代入y与x的函数关系式为y=2（x+$\frac{a}{x}$）就可以求出周长的最小值．

解答 解：（1）①当y=4$\frac{1}{4}$时，x=4，
∴m=4；∴函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象如图．

②当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；当x=1时函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值为2．

（2）当当$x=\frac{a}{x}$时，y有最小值，即$x=\sqrt{a}$时，${y_{最小}}=4\sqrt{a}$．

点评 本题是一道二次函数的综合试题，考查了描点法画函数的图象的方法，二次函数最值的运用．反比例函数的图象性质的运用．

练习册系列答案
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14．因式分解
（1）a3-4a
（2）4m（a+b）-2n（a+b）
15．完成下面的证明．（在括号中注明理由）
已知：如图，BE∥CD，∠A=∠1，
求证：∠C=∠E．
证明：∵BE∥CD，（已知）
∴∠2=∠C，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠A=∠1，（已知）
∴AC∥DE，（内错角相等，两直线平行）
∴∠2=∠E，（两直线平行，内错角相等）
∴∠C=∠E（等量代换）
12．已知菱形的边长与一条对角线长都等于4，那么这个菱形的面积等于8$\sqrt{3}$．
19．如图，正方形ABCD中，点A，B在坐标轴上，C，D在第一象限内，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过D（1，2）和C点．
（1）求k的值；
（2）求OB的长；
（3）设直线CD的函数表达式为y=mx+n．
①求m，n的值；
②求第一象限内使mx+n＜$\frac{k}{x}$成立的x取值范围．
9．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．
已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），
（1）若b=3，则R（-1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是R，S；
（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；
（3）⊙B的半径为$\sqrt{2}$，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．
16．中国古代有二十四节气歌，“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流传至今．节气指二十四时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中国古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶．其中第一个字“春”是指立春，为春季的开始，但在气象学上的入春日是有严格定义的，即连续5天的日平均气温稳定超过10℃又低于22℃，才算是进入春天，其中，5天中的第一天即为入春日．例如：2014年3月13日至18日，北京的日平均气温分别为9.3℃，11.7℃，12.7℃，11.7℃，12.7℃和12.3℃，即从3月14日开始，北京日平均气温已连续5天稳定超过10℃，达到了气象学意义上的入春标准．因此可以说2014年3月14日为北京的入春日．
        日平均温度是指一天24小时的平均温度．气象学上通常用一天中的2时、8时、14时、20时4个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温（即4个气温相加除以4），结果保留一位小数．
         如表是北京顺义2017年3月28日至4月3日的气温记录及日平均气温（单位：℃）
时间2时8时14时20时平均气温
3月28日6813119.5
3月29日761714a
3月30日79151210.8
3月31日810191312.5
4月1日87181512
4月2日117221614
4月3日1311211715.5
根据以上材料解答下列问题：
（1）求出3月29日的日平均气温a；
（2）采用适当的统计图将这7天的日平均气温的变化情况表示出来；
（3）请指出2017年的哪一天是北京顺义在气象学意义上的入春日．
13．如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，量得∠CAB=25°，∠CDB=15°，则∠ABD=10度．
14．（1）化简：（x+y）（x-y）+2y2
（2）解下列分式方程：$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{x-2}$=$\frac{2}{2x-{x}^{2}}$．

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