Question

19．如图，正方形ABCD中，点A，B在坐标轴上，C，D在第一象限内，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过D（1，2）和C点．
（1）求k的值；
（2）求OB的长；
（3）设直线CD的函数表达式为y=mx+n．
①求m，n的值；
②求第一象限内使mx+n＜$\frac{k}{x}$成立的x取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图作CH⊥OF于H．设A（0，a），B（b，0），由△ABO≌△BCH，推出OB=CH=b，OA=BH=a，推出C（a+b，b），同理可得D（a，a+b），由C、D在y=$\frac{2}{x}$上，推出（a+b）b=a（a+b），由a+b≠0，推出a=b，推出C（2a，a），可得2a²=2，推出a=1，由此即可解决问题；
（3）①求出C、D两点的坐标即可解决问题．
②利用图象可知：不等式：mx+n＜$\frac{k}{x}$的解，是直线y=mx+n的图象在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的下方部分，写出自变量的取值范围即可．

解答 解：（1）∵D（1，2）在y=$\frac{k}{x}$上，
∴2=$\frac{k}{1}$，
∴k=2．

（2）如图作CH⊥OF于H．设A（0，a），B（b，0），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
在△ABO和BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBH}\\{∠AOB=∠CHB}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB=CH=b，OA=BH=a，
∴C（a+b，b），同理可得D（a，a+b），
∵C、D在y=$\frac{2}{x}$上，
∴（a+b）b=a（a+b），
∵a+b≠0，
∴a=b，
∴C（2a，a），
∴2a²=2，
∴a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，
∴OB=1．

（3）①由（2）可知C（2，1），D（1，2），
则有$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴m=-1，n=2．

②由图象可知，mx+n＜$\frac{k}{x}$时，x的取值范围为1＜x＜2．

点评 本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标、全等三角形的判定与性质的知识，解题的关键是能够根据反比例函数的图象上两点的横纵坐标的积相等，综合性较强，难度中等．