Question

9．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．
已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），
（1）若b=3，则R（-1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是R，S；
（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；
（3）⊙B的半径为$\sqrt{2}$，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．
（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知BH=4，由此即可解决问题．
（3）根据正方形的性质，画出图象，即可判断．

解答 解：（1）如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．

故答案为R，S．

（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．

∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴△ABH为等腰直角三角形．
∵A（1，4），
∴BH=AH=4．
∴b=-3或5．

（3）如图3中，观察图象可知，满足条件的b的范围为：-5≤b≤0或3≤b≤8．

点评 本题考查圆综合题、菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“相关菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．