Question

9．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，OA=6，OB=8，D为OB的中点，点E，F为边OA上的两个动点．
（1）是否存在点M在OB边上，点N在AC边上，使得四边形OMCN为菱形？若存在，求出此时M、N点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当△CDE的周长最小时，求此时点E的坐标．
（3）若EF=3，当四边形CDEF的周长最小时，画出示意图，并直接写出点E、F的坐标．

Answer 1

分析 （1）设OM=y，根据菱形的性质得到MC=OM=y，根据勾股定理列出方程求出x，得到答案；
（2）作D关于x轴的对称点D′，连接D′C，连接CD′交x轴于E，利用待定系数法求出直线CD'的解析式即可；
（3）作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=3，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=3，求出直线EG解析式，计算即可．

解答 解：（1）存在．
如图1，设OM=y，
∴BM=8-y，
∵四边形OMCN为菱形，
∴MC=OM=y，又BC=6，
由勾股定理得，y=$\frac{25}{4}$，
所以M点的坐标为：（0，$\frac{25}{4}$），N点的坐标为：（6，$\frac{7}{4}$）；
（2）如图2，作D关于x轴的对称点D′，连接D′C，连接CD′交x轴于E，
△CDE的周长为CD+DE+EC=CD+D′E+EC=CD′+CD，
∵D为BO的中点，
∴BD=OD=4，
∵D和D′关于x轴对称，
∴D′（0，-4），
∴C（6，8），
设直线CD'的解析式为y=kx+b，
把C（6，8），D′（0，-4）分别代入解析式，
得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=8}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
则解析式为y=2x-4，
当y=0时，x=2，
故E点坐标为（2，0）；
（3）如图3，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=3，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=3，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF．
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．
直线EG解析式为y=4x-4，
所以点E的坐标为（1，0），
因为EF=3，所以OF=4．
所以点F的坐标为（4，0）．

点评 本题考查的是矩形的性质、菱形的性质、轴对称变换的知识以及待定系数法求函数解析式，灵活运用轴对称变换得到相关的点是解题的关键．