Question

2．已知关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形的两边长，且k=4，求该矩形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=4时，原方程x²-9x+17=0，设方程的两根是x₁、x₂，则矩形两邻边的长是x₁、x₂，利用根与系数的关系得出x₁+x₂=9，再根据矩形的周长公式即可得出该矩形的周长．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴[-（2k+1）]²-4（k²+1）＞0，
解得k＞$\frac{3}{4}$．
则k的取值范围是k＞$\frac{3}{4}$；

（2）当k=4时，原方程可化为x²-9x+17=0，
设方程的两根是x₁、x₂，则矩形两邻边的长是x₁、x₂，
∵x₁+x₂=9，
∴该矩形的周长为2（x₁+x₂）=18．

点评 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．