某市在党中央实施“精准扶贫政策的号召下.大力开展科技扶贫工作.帮助农民组建农副产品销售公司.某农副产品的年产量不超过100万件.该产品的生产费用y之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分,该产品的销售单价z与年销售量x之间的函数图象是如图②所示的一条线段.生产出的产品都能在当年销售完.达到产销平衡.所获毛利润为w万元� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润=销售额-生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

分析（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；
（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．

解答解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y=ax²（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=$\frac{1}{10}$，
故y与x之间的关系式为y=$\frac{1}{10}$x²．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{100k+b=20}\\{b=30}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=30}\end{array}\right.$，
故z与x之间的关系式为z=-$\frac{1}{10}$x+30；

（2）W=zx-y=-$\frac{1}{10}$x²+30x-$\frac{1}{10}$x²
=-$\frac{1}{5}$x²+30x
=-$\frac{1}{5}$（x²-150x）
=-$\frac{1}{5}$（x-75）²+1125，
∵-$\frac{1}{5}$＜0，
∴当x=75时，W有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；

（3）令y=360，得$\frac{1}{10}$x²=360，
解得：x=±60（负值舍去），
由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，
由W=-$\frac{1}{5}$（x-75）²+1125的性质可知，
当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，
故当x=60时，W有最大值1080，
答：今年最多可获得毛利润1080万元．