Question

12．已知二次函数y=ax²-8ax（a＜0）的图象与x轴的正半轴交于点A，它的顶点为P．点C为y轴正半轴上一点，直线AC与该图象的另一交点为B，与过点P且垂直于x轴的直线交于点D，且CB：AB=1：7．
（1）求点A的坐标及点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）连接BP，若△BDP与△AOC相似（点O为原点），求此二次函数的关系式．

Answer 1

分析 （1）首先利用配方法求出抛物线顶点坐标再求出A点坐标，再利用B点横坐标求出纵坐标即可；
（2）根据题意得出只可能∠PBD=90°，且△AOC∽△PBD，再利用BF=3，AH=4，DH=-4a，则FD=-3a，求出a的值，即可得出答案．

解答 解：（1）∵y=ax²-8ax=a（x-4）²-16a，
∴P（4，-16a），
当ax²-8ax=0，
解得：x₁=0，x₂=8，
∴A（8，0），
∵CB：AB=1：7，
∴点B的横坐标为1，
∴B（1，-7a），
∴C（0，-8a）；

（2）∵△AOC为直角三角形，
∴只可能∠PBD=90°，且△AOC∽△PBD，
设对称轴与x轴交于点H，过点B作BF⊥PD于点F，
可得，BF=3，AH=4，DH=-4a，则FD=-3a，
∴PF=-9a，
由相似，可知：BF²=DF•PF，
则9=-9a•（-3a），
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
故抛物线解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解题关键．