Question

5．如图，在直角坐标系中，有一直角梯形AOCD，AD∥OC，AD=6，OC=8，sin∠DCO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点M是OC的中点，点P从点M出发沿MO以每秒1个单位长度的速度向坐标原点O匀速运动，到达点O后以原速沿OM返回．点Q从点M出发以每秒1个单位长度的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中以PQ为直角边，点P为直角顶点向x轴上方作等腰直角三角形EPQ，点P，Q同时出发，当点P返回到点M时，P，Q同时停止运动，设点P，Q运动时间为t（t＞0秒）
（1）求∠DCO的度数及坐D标；
（2）直接写出点P从点O返回M的运动过程中，P，Q之间的距离；
（3）当OP=2时，求△EPQ与梯形AOCD重叠部分的面积S；
（4）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值．请回答，该最大值能否持续一段时间？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥OC于H，如图1，则OH=AD=6，CH=OC-OH=2，再利用特殊角的三角函数值得到∠DCO=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得DQ=$\sqrt{3}$CH=2$\sqrt{3}$，于是得到D点坐标为（6，2$\sqrt{3}$）；
（2）当点P从点O返回M时，可用t表示出P点坐标为（t-4，0），同时得到Q点坐标为（4+t，0），然后利用两点的横坐标之差计算PQ的长；
（3）分类讨论：当点P从点M向O点运动时，如图1，PE和QE分别交AD于F、G，则MP=OM-OP=2，MQ=MP=2，利用等腰直角三角形的性质得PQ=PE=4，再判断△EFG为等腰直角三角形，得到FG=FE=EP-PF=4-2$\sqrt{3}$，于是△EPQ与梯形AOCD重叠部分的面积S为S_梯形FGQP，再根据梯形的面积公式计算即可；当点P从点O向M点运动时，如图2，PE和QE分别交AD于F、G，则PQ=8，同理可得FG=FE=EP-PF=8-2$\sqrt{3}$，由于FD=AD-AF=4，则可判断点D在△PEQ的内部，所以△EPQ与梯形AOCD重叠部分的面积S即为S_梯形FDCP，再根据梯形的面积公式计算即可；
（4）当点P运动到点O时，点Q运动到点C，此时AD被覆盖线段的长度达到最大值，t=4，如图3，PE和QE分别交AD于F，则PE=PQ=8，易得FE=AG=8-2$\sqrt{3}$，所以GD=2$\sqrt{3}$-2，所以点P从点O可继续运动（2$\sqrt{3}$-2）秒，FG的长度不变，于是得到此时t的范围为4≤t≤2+2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）作DH⊥OC于H，如图1，则四边形AOHD为矩形，
∴OH=AD=6，
∴CH=OC-OH=8-6=2，
∵sin∠DCO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DCO=60°，
在Rt△DCO中，∵∠CDH=30°，
∴DQ=$\sqrt{3}$CH=2$\sqrt{3}$，
∴D点坐标为（6，2$\sqrt{3}$）；
（2）当点P从点O返回M时，P点坐标为（t-4，0），此时Q点坐标为（4+t，0），
∴PQ=4+t-（t-4）=8；
（3）当点P从点M向O点运动时，如图1，PE和QE分别交AD于F、G，则MP=OM-OP=4-2=2，MQ=MP=2，
∵△EPQ为等腰直角三角形，
∴PQ=PE=4，
而FG∥PQ，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴FG=FE=EP-PF=4-2$\sqrt{3}$，
∴△EPQ与梯形AOCD重叠部分的面积S=S_梯形FGQP=$\frac{1}{2}$×（4-2$\sqrt{3}$+4）×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$-6；
当点P从点O向M点运动时，如图2，PE和QE分别交AD于F、G，则PQ=8，
∵△EPQ为等腰直角三角形，
∴PQ=PE=8，
而FG∥PQ，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴FG=FE=EP-PF=8-2$\sqrt{3}$，
而FD=AD-AF=6-2=4，
∴FG＞FD，即点D在△PEQ的内部，
∴△EPQ与梯形AOCD重叠部分的面积S=S_梯形FDCP=$\frac{1}{2}$×（4+6）×2$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$；
（4）能．
当点P运动到点O时，点Q运动到点C，此时AD被覆盖线段的长度达到最大值，t=4，如图3，PE和QE分别交AD于F，则PE=PQ=8，
∴FE=AG=8-2$\sqrt{3}$，
∴GD=6-（8-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴当G点向右运动（2$\sqrt{3}$-2）个单位时，FG的长度不变，
即点P从点O可继续运动（2$\sqrt{3}$-2）秒，FG的长度不变，
∴当4≤t≤4+2$\sqrt{3}$-2，即4≤t≤2+2$\sqrt{3}$时，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度的最大值能持续一段时间．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质和等腰直角三角形的性质；学会利用代数式法解决动点的问题；注意分类讨论思想的意义．