Question

17．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{13}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 因为PQ为切线，所以△OPQ是直角三角形，又因为OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小；根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小；根据勾股定理求出PQ的最小值．

解答 解：过点O作直线l的垂线，垂足为P，过P作⊙O的切线PQ，切点为Q，连接OQ，此时PQ为最小，
∴OP=3，OQ=2，
∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP=90°，
由勾股定理得：PQ=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则PQ的最小值为$\sqrt{5}$，
故选A．

点评 本题考查了切线的性质、点到直线的距离，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；本题也是求最值问题，利用数形结合，发现PQ在直角三角形OPQ中，所以PQ的最小值，与另两边OP和OQ有关，由此来判断最小值时点P的位置．